***数学归纳法的定义

***数学归纳法可以概括为以下三步：

(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；

(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

从而就可断定命题对于从所有正整数都成立。

数学归纳法的正确性证明：

假设我们已经完成下面的推理

归纳基础：P(0)真；

归纳推理：对于任意k (P(k)→P(k+1))

但是还并非所有自然数都有性质P。

将这些不满足性质P的自然数构成一个非空自然数子集，这样，子集中必定有一个最小的自然数，设为m。

显然m0，记做n+1，这样n一定具有性质P，即P(n)为真

存在n(P(n)∧not;P(n+1))╞╡对于任意的k(not;P(k)∨P(k+1))不满足╞╡对于任意的k(P(k)→P(k+1))不满足

假设推理结果与已经完成的归纳推理矛盾，所以假设错误。

所有自然数都有性质P。

高等代数中的***数学归纳法和第二数学归纳法有什么区别？什么时候会用到数学归纳法？

一、定义不同

1、***数学归纳法：***数学归纳法可以概括为以下三步：归纳奠基：证明n=1时命题成立；归纳假设：假设n=k时命题成立；归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

2、第二数学归纳法：数学归纳法是一种重要的论证方法，本文从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨。

二、证明过程不同

1、***数学归纳法：f（n）=2*f（n-1）+3。

2、第二数学归纳法：f（n）=2*f（n-1）+3*f（n-2）+4。

三、使用方法不同

1、***数学归纳法：***归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡事能用***归纳法的，都可以使用第二归纳法。

2、第二数学归纳法：第二归纳法可以证明的，***归纳法并不一定能证明。

参考资料来源：百度百科-***数学归纳法

参考资料来源：百度百科-第二数学归纳法

***数学归纳法跟第二数学归纳法有什么相同点和不同点

一、相同点：***数学归纳法和第二数学归纳法是等价的。

二、不同点

1、形式上的区别

***数学归纳法：初始验证只要验证n=1（或n=0)时结论成立；通式假定只要假定n=k时结论也成立；渐进递推在前两条基础上，推导n=k+1时结论也成立。

第二数学归纳法：初始验证要验证n=1,2,3,……,m时，结论成立；通式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m时，结论也成立；渐进递推在前两条基础上，推导n=k+m+1时，结论也成立。

2、使用方法不同

***数学归纳法：***归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡是能用***归纳法的，都可以使用第二归纳法。

第二数学归纳法：第二归纳法可以证明的，***归纳法并不一定能证明。

3、证明过程不同

如果采用第二数学归纳法，假设n=k成立，证n=k+1成立，可以利用n=1,2,......,k；如果只假设n=k，那就只能利用n=k。

参考资料来源：百度百科--***数学归纳法

参考资料来源：百度百科--第二数学归纳法

***，第二数学归纳法

***数学归纳法可以概括为以下三步：

(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；

(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n＝1时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

扩展资料：

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（***个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

***步：验证n取***个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k1）

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

参考资料：百度百科——数学归纳法

能帮我具体阐述一下数学归纳法吗

概述

数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

编辑本段基本步骤

（一）***数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取***个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥

[n的***个值]，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数

有关的命题

，

（1）验证

n=n0时

p(n)成立；

（2）假设nn0),命题p(n)都成立；

（四）螺旋式归纳法

p（n），q（n）为两个与自然数

有关的命题，假如

（1）p(n0)成立；

（2）假设

p(k)

(kn0)成立，能推出q(k)成立，假设

q(k)成立，能推出

p(k+1)成立；

综合（1）（2）,对于一切自然数n（n0），p(n),q(n)都成立；

编辑本段应用

1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

3.证明数列前n项和与通项公式的成立

4.证明与自然数有关的不等式

编辑本段数学归纳法的变体

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

***步，证明当n=b时命题成立。

第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n22n”这一类命题。

只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：

***步，证明当n=1时命题成立。

第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面：

***步，证明当n=0或2时命题成立。

第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

编辑本段数学归纳法的合理性

数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理)。但是他可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

自然数集是良序的。

注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说,两个都是等价的。

编辑本段历史

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于

francesco

m***rolico

的

arithmeticorum

libri

duo

(1575年)。m***rolico

利用递推关系巧妙的证明出证明了前

n

个奇数的总和是

n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础:

证明当n

=

1时表达式成立。

递推的依据:

证明如果当n

=

m时成立，那么当n

=

m

+

1时同样成立。

这种方法的原理在于***步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

***张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）***块骨牌倒下

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

***数学归纳法与第二数学归纳法一样吗？什么时候用***数学归纳法，什么时候用第二数学归纳法？

***数学归纳法：①验证n=1时，命题正确 ②假设n=2时，命题正确 ③证明n=k+1时，命题正确。

第二数学归纳法：①验证n=1时和n=2时命题都正确 ②假设nk时命题正确 ③证明n=k时命题正确。

例如，证明Dn=3^(n+1)-2^(n+1) 此时就需要用第二数学归纳法

希望能够帮到你。

第一数学归纳法的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于第二数学归纳法、第一数学归纳法的信息别忘了在本站进行查找喔。