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杨辉三角的规律 、杨辉三角的规律公式初中
2023-04-13 00:15  浏览:39

杨辉三角的规律总结是什么?

规律如下:

杨辉三角最本质的规律特征是:它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

简介:

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形,三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形,也叫三边形。三角形是几何图案的基本图形。

杨辉三角形有什么规律

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:

1

n=0

1

1

n=1

1

2

1

n=2

1

3

3

1

n=3

1

4

6

4

1

n=4

1

5

10

10

5

1

n=5

1

6

15

20

15

6

1

n=6

……

此数列中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后,展开始终各项的系数。如:

(a+b)^1=a^1+b^1

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

……

(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6(注意发现规律)

……

杨辉三角的规律是什么?

杨辉三角的规律是每行数字的***列和最后一列的数字都是1,从第三行开始,除去***列和最后一列都为数字1以外,其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的,它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和,即第n行的数分别为:

(1)中第n行之前的数字之和。

(2)中第n行之前的数字之和。

(3)中第n行之前的数字之和。

(4)中第n行之前的数字之和。

应用

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。例如在杨辉三角中,第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数(性质 8),第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数,即:

以此类推又因为性质5:第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为:

因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。

杨辉三角的规律总结是什么?

杨辉三角的规律总结是:

1、每个数等于它上边两数之和。

2、每排数字上下对称性,由1逐渐慢慢增大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行的m个数可表明为C(n-1,m-1),即是从n-1个不一样原素中取m-1个因素的组合数。

5、第n行的第m个数和第n-m 1个数相同,为组合数特性之一。

6、每个数字等于上一行的左右两个个数字之和。可以用此特性写下全部杨辉三角。即第n 1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的特性之一。即C(n 1,i)=C(n,i) C(n,i-1)。

7、(ab)n地展开式中的各类指数先后相匹配杨辉三角的第(n 1)行中的每一项。

8、将第2n 1行第1个数,跟第2n 2行第3个数、第2n 3行第5个数连接成一线,这种数的和是第4n 1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数,这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

9、将第n行的各标值,各自乘于10的行数m-1三次方,随后把这种标值求和的和等于11得n-1三次方。

杨辉三角代码实现的递推公式是:

在很多题目中,我们常常需要用打表的形式先处理出杨辉三角矩阵,然后再以此为基础进行程序求解。那么我们打表的时候如果手存表格的话,不仅浪费考试时间,而且保证不了空间范围和正确性,这个时候需要我们使用递推的手段用程序处理出表格。

根据杨辉三角的性质,我们推出以下的递推公式:C[i][j]=C[i−1][j]+C[i−1][j−1]。

杨辉三角前置条件二项式系数:二项式系数,定义为(1+x)n(1+x)n展开之后xx的系数。

通常来讲,二项式系数代表的是从nn件物品中,无序地选取kk件的方法总数,如果你读过我全排列的博客链接,那么你会发现,这就是我们定义的“组合数”。

证明也比较简单:我们假设上述的n=4,k=2n=4,k=2,通过组合数公式可以得出组合数为6。

假如我们把(1+x)4(1+x)4展开并标记每一个xx,就会得到:(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)。

上式等于:(1+x1)⋯(1+x4)=⋯+x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4+⋯(1+x1)⋯(1+x4)=⋯+x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4。

我们发现,假如把标记去掉,这个x2x2的系数正好等于6。

也就证明了:(1+x)n(1+x)n中xkxk的系数正好等于从nn个元素中选取kk个元素的组合数(CknCnk)。

杨辉三角的规律以及推导公式是什么?

杨辉三角的规律以及推导公式是:

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大。

3、第n 行的数字有n+1 项。

4、第n 行数字和为2(n-1) (2 的(n-1) 次方)。

5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。

6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等,即C(n,m)=C(n,n-m) 。

数在杨辉三角中的出现次数

由1开始,正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。

除了1之外,所有正整数都出现有限次,只有2出现刚好一次,6,20,70等出现三次;出现两次和四次的数很多,还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。

杨辉三角的规律以及推导公式是什么?

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出: (a+b) 2 2+2ab+b 2 =a

此代数式的系数为: 1 2 1

则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢?答案为: a

由此可发现, 此代数式的系数为: 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律,所以让我们再来看看 (a+b)

的展开式。

展开式为: a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4

由此又可发现,代数式的系数为: 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列:

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为: 1,(1,1 ),(1,2,1 ),(1,3,3,1 ),(1,4,6,4,1 )(1,5,10,10,5,1 ),(1,6,15,20,15,6,1 ), (1,7,21,35,35,21,7,1 )所以: (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。

由上式可以看出, (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ,b 的次数依次上升, 0、1、2? n 次方。系数是

杨辉三角里的系数。

2 杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下:

1 ( 1 )

1 1 ( 1+1=

2 )

1 2 1 (1+2+1=4 )

1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )

1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )

1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3

2 )

1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )

? ?

相加得到的数是 1,2, 4,8,16,32, 64,? 刚好是 2 的 0,1,2,3,4,5, 6,? n 次幂,即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1 (2) n=1

1 1 (3) n=2

1 2 1 (4) n=3

1 3 3 1 (5) n=4

1 4 6 4 1 (6) n=5

1 5 10 10 5 1 n=6

1 6 15 20 15 6 1

把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6

把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15

把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20

把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15

把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6

把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

由上面可得:杨辉三角中n 行中的第i 个数是i-1 中前n-1 个数之和,即第n 行的数分别为1、(1) 中第n 行

之前的数字之和、(2) 中第n 行之前的数字之和、(3) 中第n 行之前的数字之和、(4) 中第n 行之前的数字之和、?、(n-3) 中第n 行之前的数字之和、1。

总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下六点:

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大。

3、第n 行的数字有n+1 项。

4、第n 行数字和为2(n-1) 。(2 的(n-1) 次方)

5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。[1]

6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等,即C(n,m)=C(n,n-m) ,这是组合数性质

介绍:

杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623----1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。

关于杨辉三角的规律和杨辉三角的规律公式初中的介绍到此就结束了,不知道你从中找到你需要的信息了吗 ?如果你还想了解更多这方面的信息,记得收藏关注本站。

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