克莱姆法则内容

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

基本介绍

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： 克莱姆法则(9张)

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1,

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2,

．．．．．．

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn.

或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。

而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。

克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O(n^3），这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。

当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。

系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。

当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。

若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。

若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

法则总结

1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;

2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；

3：克莱姆法则的局限性：

（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失

效。

（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

技术应用

克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。

先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义和。

找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算F、G、x和y的导数：

将dx和dy代入dF和dG，可得出：

因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

现在用克莱姆法则就可得到：

用两个雅可比矩阵来表示的方程：

用类似的方法就可以找到、以及。

以上内容来自百度百科。。。。。。

克莱姆法则（Cramer's Rule）简单理解

比如有这么一个方程组：

      2x +  y + z = 3

        x –  y – z = 0

        x + 2y + z = 0

把 等号左边 的每一项的系数写成 行列式 ：

把 等号右边 的答案写成一栏：

把右侧答案栏替换系数的行列式x栏，就得到Dx行列式

同样，把答案栏分别替换到系数行列式的y栏与z栏，分别得到 Dy,Dz行列式

最后求解三个未知数的公式就是:

这就是克莱默法则

如果D=0说明方程无解

行列式的行与列必需是相同的如2x2, 3x3 ,4x4,nxn等

参考:

克拉默法则是什么

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

克拉默法则有两种记法：

1、记法1：若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为

2、记法2：若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为

其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

扩展资料

一、克莱姆的主要成就：

克莱姆的主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750 [1]  ），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，*** 次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然後讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。

为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则於1729年由英国数学家马克劳林（Macl***rin，Colin，1698～1746）得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。他还提出了“克莱姆悖论”。

二、克拉默法则的证明：

1、充分性：设A可逆，那么显然

是

的一个解。又设X1是

其他不为X0的解，即

两边同时左乘A-1得

上面两式矛盾，因为不存在其他不为X0的解，故

是的一个解。

2、必要性：设

的唯一解X0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y0，

X0+Y0也是

的一个解，矛盾，故不可逆，证毕。

参考资料来源：百度百科——克拉默法则

参考资料来源：百度百科——克莱姆

克莱姆法则

这是克莱姆法则最简单的证明方式,就我所知.但是一般的教材会按照历史发展的顺序先讲行列式,再讲矩阵,所以......(如果看不懂,学了矩阵后再来看就好了.) 仅就理论结构上而言,先讲线性方程组的一般解法,再讲线性空间,然后讲矩阵,最后讲行列式是***的.这种讲法比较抽象,因为一上来就讲线性空间,初学者不好入门,而且也不是历史发展的顺序.但是却是最清晰的理论框架. 为什么要研究行列式,就是为了判断方阵是否可逆!(当然,行列式最初被发明出来不是为了这个目的.) 克莱姆法则在理论上很有用,但是在应用中的作用几乎等于0.没有人会用克莱姆法则去解线性方程组(简单的2维方程组可以用克莱姆法则解). 最后,至于你所问到的为什么克莱姆法则可以解线性方程组.因为这个鬼东西被证明了啊!你还想怎样?

克莱姆法则是什么

克莱姆法则

克莱姆法则〔Cramer's Rule〕是瑞士数学家克莱姆〔1704-1752〕於1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。他在确定五个点的二次曲线方程A + Bx + Cy + Dy2 + Exy + x2 = 0的系数时，提出了本法则：

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组：

a11x1+a12x2+．．．+a1nxn = b1,

a21x1+a22x2+．．．+a2nxn = b2,

．．．．．．

an1x1+an2x2+．．．+annxn = bn.

而当它的系数行列式D不等於0的时候，根据克莱姆法则，它的解是当中的Di〔i = 1，2，……，n〕是D中的a 1i，a 2i，……a ni依次换成b1，b2，……bn所的行列式。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆

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