有关泊松积分的计算

(a)² = (-a)²

(x - y)² = (y - x)²

平方都是非负值

例如：

如果是不定积分，积不出来。

如果是(-∞，+∞)上定积分，结果是 √π（泊松积分）

设u=∫(-∞，+∞) e^(-t^2)dt

两边平方： 下面省略积分限

u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量

=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分

=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R--+∞

用极坐标

=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ

=∫ [0--2π]∫ [0--R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R--+∞取极限

=2π*(1/2)∫ [0--R] e^(-r^2)d (r^2)

=π[1-e^(-R^2)] 然后R--+∞取极限

= π

这样u^2=π，因此u = √π

扩展资料：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

参考资料来源:百度百科-积分

什么是“泊松积分”?

泊松积分通常用于把重力值从地球表面转化到大地水准面(即称之为重力向下延拓)的过程中.由于这是一个反问题,一些数字技术比如将积分离散化为一个线性方程组是必需的.目前,已经提出了两种离散化方案(单点和双重平均).虽然这两种方案在数学上都是可解的,但用它们处理相同的输入地面重力值时,却得出不同的大地水准面上的重力值.这种差异的产生是由于对泊松核函数的不同离散化方法造成的,而且这一问题尚未引起足够的关注.实际上,数学上的可解性并不能保证得到正确的解.问题在于此方程组是否构成得很好,或者说,离散化是否合理.因而本文研究泊松积分的离散方法.为此目的,本文提出一个单点平均的方案来对泊松积分进行估值.单点平均方案基本上与双点平均方案是相同的,但它在计量上更为简单,因为其计算工作大为减少.比较单点和双点平均方案后表明,对于一个有限的地表网格范围情况,单点离散方案会带来严重的理论问题,因为会相当大地低估大地水准面上的重力值甚至在极端情况时会给出不正确的结果.我们得到,仔细构成离散方程组的系数矩阵比应用单点重力值作为输入远为重要.

-- 泊松积分的具体推导过程是？？？？？？

(∫∞，-∞ exp(-x^2) dx)*(∫∞，-∞ exp(-x^2) dx)

=(∫∞，-∞exp(-x^2) dx)*(∫∞，-∞ exp(-y^2) dy)

将上式化成在极坐标下的积分，

原式=∫∫∞，-∞exp(-x^2-y^2) dxdy

=∫2π,0 dt∫∞,0 exp(-r^2)rdr

=2π*1/2=π

推出∫∞，-∞ exp(-x^2) dx = π^(1/2)

求泊松积分公式

设 I＝ 泊松积分 ＝ (0, ∝ )∫[e^(-x^2)] dx I^2 = {(0, ∝ )∫[e^(x^2)] dx }*{(0, ∝ )∫[e^(y^2)] dy= (积分区间D )∫∫[e^(-x^2 - y^2 )] dxdy (面积分）= [ 积分变换 ρ^2 = x^2 + y^2 , dxdy = ρdρdθ , D: 0 ≤ρ≤ + ∝ , 0 ≤θ≤ π/2 ]= (积分区间D )∫∫[e^(-ρ^2) ] ρdρdθ (面积分）= {(0 ≤θ≤ π/2 )∫dθ}{(0 ≤ρ≤ + ∝ )∫[e^(-ρ^2)ρdρ ] }= (π/2)* (1/2)故 I ＝ 泊松积分 = (√π)/2

e的-x^2次方的积分

e的-x^2次方的积分是泊松积分公式。泊松积分公式是圆域狄利克雷问题的求解公式。公式表明：如果知道调和函数在圆周l上的点（R，θ）的值是u（R，θ），便能找出它在圆内任一点（r，φ）的值。

泊松积分公式是圆域狄利克雷问题的求解公式。在数学中，狄利克雷边界条件，为常微分方程的“***类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。狄利克雷问题亦称***边值问题，是调和函数的一类重要边值问题。求一个在区域D内调和并在（DU∂D）上连续的函数u（z）的问题，要求它在∂D上取给定的连续函数φ(ξ)（ξ∈∂D）。

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