坐标变换公式是什么?
坐标变换公式（formula of a coordinates transformation）是线性空间的向量关于不同基的坐标之间的关系式，是解析几何中（不变原点的）坐标变换公式的推广。
一个点在一个坐标系的（一组）坐标，到新坐标系的（另一组）坐标的改变。新坐标系可以是与原坐标系同类型的（通过坐标轴的平移或旋转等得出）；也可以是不同类型的（例如由直角坐标系变为极坐标系等）。
应用
在平面几何学中，有直角坐标的平移和旋转，还有极坐标与直角坐标之间的相互转换。
直角坐标系中，坐标的平移，讲究的是一个相对坐标和绝对坐标。坐标的平移，是由坐标轴的平移和转动造成的。如果能弄清楚原坐标的移动距离、移动方向、转过的角度（相对于原坐标移动之前）。那么所要求的坐标，也做原坐标同样的变换就可以在新坐标中找到对应的位置。
坐标变换的运算规则
坐标转换公式：F＝(G＋G)。
坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。
坐标，数学名词。是指为确定天球上某一点的位置，在天球上建立的球面坐标系。有两个基本要素：①基本平面；由天球上某一选定的大圆所确定；大圆称为基圈，基圈的两个几何极之一，作为球面坐标系的极。②主点，又称原点；由天球上某一选定的过坐标系极点的大圆与基圈所产生的交点所确定。
球坐标变换公式是什么？
球坐标变换公式是：
球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:
x=rsinθcosφ。
y=rsinθsinφ。
z=rcosθ。
反之，直角坐标系(x，y，z)与球坐标系(r，θ，φ)的转换关系为:
r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2)。
φ= arctan(y/x)。
θ= arccos(z/r)。
原理：
地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。
用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变数法求得解答。
这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标(n-sphere)。
常用坐标系的相互转换
1.惯性坐标系（i系）－地球坐标系（e系）
如图3-2-3所示，地球直角坐标系0xeyeze为地固坐标系（简称e系），0xiyiyi为惯性坐标系（简称i系）。ω为地球自转角速度。
地球直角坐标系0xeyeze相对惯性参照系的转动角速度就是地球的自转角速度ω。
航空重力勘探理论方法及应用
则有e系至i系的坐标变换矩阵为：
航空重力勘探理论方法及应用
2.地球坐标系（e系）－当地地理坐标系（n系）
如图3-2-4所示，地理坐标系的原点就是载体所在点，zn轴沿当地参考椭球的法线指向向外，xn轴与yn轴均与zn垂直；即在当地水平面内，xn轴沿当地纬度线指向正东，yn轴沿当地子午线指向正北。按照这样的定义，地理坐标系的zn轴与地球赤道平面的夹角就是当地地理纬度，zn轴与yn轴构成的平面就是当地子午面。zn轴与xn轴构成的平面就是当地卯酉面。xn轴与yn轴构成的平面就是当地水平面。
地理坐标系的三根轴可以有不同的选取方法。图3-2-5所示的地理坐标系是按“东、北、天”为顺序构成的右手直角坐标系。除此之外，还有按“北、西、天”或“北、东、地”为顺序构成的右手直角坐标系。
图3-2-4 地球坐标系与当地地理坐标系
图3-2-5 载体运动引起的地理坐标系转动
地球坐标系先绕ze转动λ角，得到0ex’y’ze，再绕y’转动（270°－φ），即得到当地地理坐标系（Gopal M,1984）。因此地球坐标系与当地地理坐标系之间的转换矩阵
为：
航空重力勘探理论方法及应用
式中：φ为地理纬度；λ为地理经度。
当载体在地球表面运动时，载体相对地球的位置不断发生变化，地球上不同地点的地理坐标系相对地球的角位置是不同的。也就是说，载体的运动将引起地理坐标系相对地球坐标系转动。如果考察地理坐标系相对惯性坐标系的转动角速度，应当考虑两种因素：一是地理坐标系随载体运动时相对地球坐标系的转动角速度；二是地球坐标系相对惯性参照系的转动角速度。
假设载体沿水平面航行（如飞机），所在地点的纬度为φ，航速为v，航向为H。将航速分解为沿地理坐标系北东两个分量：
航空重力勘探理论方法及应用
航速的北分量vN引起地理坐标系绕着平行于地理东西方向的地心轴相对地球转动，其转动角速度为（见图3-2-5）：
航空重力勘探理论方法及应用
航速的东向分量vE引起地理坐标系绕着极轴相对地球转动，其转动角速度为：
航空重力勘探理论方法及应用
参考椭球上各点的子午圈半径RM和卯酉圈半径RN的计算公式为：
航空重力勘探理论方法及应用
式中：R为参考椭球的地球长半径；e为参考椭球的***偏心率。
将角速度
和
平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系各轴上，可得：
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式中：
表示n系相对e系的角速度在n系Xn轴（Yn轴、Zn轴）上的分量。上式表明，航行速度将引起地理坐标系绕地理东向、北向和垂直方向相对地球坐标系转动。
地球坐标系相对惯性参照系的转动是地球自转引起的。把地球自转角速度ω平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系的各轴上，可得：
航空重力勘探理论方法及应用
上式表明，地球自转将引起地理坐标系绕地理北向和垂线方向相对惯性参照系转动。
综合考虑地球自转和载体的航行影响，地理坐标系相对惯性参考系的转动角速度在地理坐标系各轴上的投影表达式为：
航空重力勘探理论方法及应用
在分析陀螺仪和惯性导航系统时，地理坐标系是要经常使用的坐标系。例如，陀螺罗经用来重现子午面，其运动和误差就是相对地理坐标系而言的。在指北方位平台式惯导中，采用地理坐标系作为导航坐标系，平台所模拟的就是地理坐标系。
3.当地地理坐标系（n系）－载体坐标系（b系）
当地地理坐标系可通过绕载体坐标系Zb轴转动方位角A、绕yb轴转动俯仰角θ，和绕xb轴转动滚动角φ来实现其到载体坐标系的转换（捷联惯性导航技术，张天光等译），三次转动可以用数学方法表述3个独立的方向余弦矩阵，定义如下：
绕载体坐标系z轴转动方位角A，有：
航空重力勘探理论方法及应用
绕载体坐标系y轴转动方位角θ，有：
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绕载体坐标系x轴转动方位角φ，有：
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因此，当地地理坐标系（n系）到载体坐标系的变换可以用这3个独立变换的乘积表示如下：
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所以转换矩阵
为：
航空重力勘探理论方法及应用
在平台式惯性导航系统中，或通过3个框架之间的角度传感器测量方位角A、俯仰角θ和滚动角φ。
坐标系的旋转公式
推导用复数方法比较简单：
设在复平面中：原曲线上一点直角坐标(x,y)，原曲线绕坐标原点旋转α角后该点对应直角坐标(x',y')。
则：(x,yi)*(cosα,isinα)=(x',y'i)。
即：(x',y'i)=(xcosα-ysinα,i(xsinα+ycosα))。
所以：x'= xcosα-ysinα；y'= xsinα+ycosα。
相关内容解释：
应用
坐标系把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要!它从指导思想上，改变了传统的几何方法。笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几何中，动点的坐标就成了变数，这是数学***次引进变数。
恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说："数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。"
坐标方法在日常生活中用得很多。例如象棋、国际象棋中棋子的定位;电影院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念。
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