椭圆的标准方程有几种？
椭圆的标准方程共分两种情况[1]：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)
中文名
椭圆标准方程
外文名
Standard equation of the ellipse
别称
线条
表达式
x^2/a^2+y^2/b^2=1
提出者
数学家
方程推导
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a2c）。
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。
设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知
|MF1|+|MF2|=2a，（a0）
即
将方程两边同时平方，化简得
两边再平方，化简得
又
，设
，得
两边同除以 ，得
这个形式是椭圆的标准方程。
通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。
非标准方程
其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。
几何性质
X，Y的范围
当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b
当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）
短轴顶点：（0，b），（0，-b）
焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）
短轴顶点：（b,0），（-b,0）
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。
焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)
计算方法
(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。
圆和椭圆之间的关系：
椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。
参考资料
[1] 曹才翰.中国中学教学百科全书:数学卷[M].沈阳:沈阳出版社
[2] 沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]. 数学通讯, 2015(8):
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（ab0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（ab0）。
其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。
扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
离心率范围：0e1。离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
参考资料来源：百度百科-椭圆
参考资料来源：百度百科-椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是什么样的？
共分两种情况：
①当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
②当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；
其中a^2-c^2=b^2。
拓展资料：
椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。
椭圆的基本性质
1、范围：焦点在x 轴上 -a≤x≤a，-b≤y≤b ；焦点在y 轴上 -b≤x≤b， -a≤y≤a。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
4、离心率：e＝c/a 或 e=√（1-b^2/a2）。
5、离心率范围：0e1。
6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）
8、 P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。
9、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆的标准方程是什么？
共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)； 其中a^2-c^2=b^2
扩展资料：
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。既椭圆是中心对称图形。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）
短轴顶点：（0，b），（0，-b）
焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）
短轴顶点：（b,0），（-b,0）
在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。
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